Number Theory

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By Hartmut Laue

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Beweis. (1) Es ist (aR)( a1 R) = R, also aR ∈ MR (S)∗ . Teiler von Einheiten sind Einheiten, also gilt (1). 7, unter Verwendung des dortigen Zusatzes. 1 Sei R ein kommutativer Ring, P ein Primideal von R, b ∈ R Seien U, V ⊆ P mit U ⊆ V + bR. Dann gilt: U ⊆ V + bP . 1 P. In jedem Integrit¨ atsbereich R ist {0R } selbst Primideal und R als Einselement der Halbgruppe I(R) leeres Produkt von (Prim-)Idealen. 1 das Wort Ideal“ auch durch nichttriviale Ideal“ ersetzen. ” ” 54 Sind n¨amlich u ∈ U und v ∈ V , r ∈ R mit u = v +br, so folgt br = u−v ∈ P , wegen b ∈ P also r ∈ P .

35 (4) Sei b = 0 ein Primelement von G(K). Wegen b ∈ G(K))∗ gilt dann nach (2): |N(b)| > 1. Seien s ∈ N, p1 , . . , ps ∈ P mit |N(b)| = p1 · · · ps . Dann gilt: b | p1 · · · ps , also gibt es nach Voraussetzung ein j ∈ s mit b | pj . G(K) G(K) Um einzusehen, daß p eindeutig bestimmt ist, nehmen wir an, es gebe eine Primzahl p = pj mit b | p. Dann gilt f¨ ur alle k, l ∈ Z: b | pk + pj l. h. b ∈ G(K)∗ , ein Widerspruch. G(K) (5) Nach (2) folgt aus der Voraussetzung: |N(b)| ≥ 2. Wir zeigen (5) durch Induktion nach |N(b)| und stellen zun¨achst fest, daß b im Falle |N(b)| = 2 nach (3) unzerlegbar ist; im Falle der Unzerlegbarkeit von b gen¨ ugt es nat¨ urlich, r := 1, d1 := b zu setzen.

ER′ (S). 6 Proposition Sei S ein kommutativer unit¨arer Ring, R ein unit¨arer Teilring von S mit 1R = 1S . (1) I(R), H(R), ER (S) sind R enthaltende Unterhalbgruppen von MR (S). (2) Genau dann gilt I(R) ⊆ ER (S), wenn R noethersch ist. (3) Die Abbildung χ : R → H(R), a → aR, ist ein multiplikativer Epimorphismus. F¨ ur alle a, b ∈ R gilt: aχ = bχ ⇔ a | b und b | a. 4) MR (S) I(R) ⊆ ER (S) ⇔ R noethersch ER (S) ⊇ H(R) (∼ = R/∼, falls R Integrit¨atsbereich) {R} Beweis. Die Aussage (3) ist aufgrund des Unit¨ar-Seins von R trivial.

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