Number Theory

Algebraische Geometrie by Claus Scheiderer PDF

By Claus Scheiderer

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I=1 ji KAPITEL III Projektive Variet¨ aten 1. Projektive R¨ aume Sei k ein K¨ orper. Alle k-Vektorr¨aume seien endlich-dimensional. Sei V stets ein k-Vektorraum. 1. Definition. Die Menge P(V ) aller 1-dimensionalen Untervektorr¨aume von V heißt der projektive Raum von V . Die Dimension von P(V ) ist definiert als dim P(V ) := dimk (V ) − 1. F¨ ur V = k n+1 und n ≥ 0 schreibt man Pn (k) := P(k n+1 ). Die Elemente von P(V ) sind also die [v] := kv f¨ ur 0 = v ∈ V . Dabei gilt [v] = [w] ⇔ ∃ c ∈ k ∗ w = cv.

Dimensionsformel) F¨ ur je zwei projektive Unterr¨ aume U1 , U2 von P(V ) ist dim(U1 ∩ U2 ) + dim(U1 ∨ U2 ) = dim(U1 ) + dim(U2 ). Das folgt sofort aus der entsprechenden Dimensionsformel f¨ ur Untervektorr¨aume. 5. Beispiel. Je zwei Geraden L1 = L2 in der projektiven Ebene P2 (k) schneiden sich in genau einem Punkt. 4. 6. Definition. Sei f : V → V eine injektive lineare Abbildung von kVektorr¨ aumen. Die zugeh¨ orige projektive Abbildung ist P(f ) : P(V ) → P(V ), [v] → [f (v)]. Ist f bijektiv, so heißt P(V ) eine Projektivit¨ at (von P(V ) nach P(V )).

Lemma. Sei T eine multiplikative Teilmenge von S aus homogenen Elementen, 0 ∈ / T . Dann ist auf dem Ring ST durch (ST )n = a t : a ∈ S homogen, t ∈ T , deg(a) − deg(t) = n (n ∈ Z) eine Z-Graduierung definiert. Beweis. Man sieht leicht, daß die (ST )n additive Untergruppen sind, und daß (ST )m ·(ST )n ⊂ (ST )m+n und ST = n (ST )n gilt. Bleibt zu zeigen, daß die Summe e ur direkt ist. Dazu sei i=d atii = 0, mit ai , ti homogen und deg(ai ) − deg(ti ) = i f¨ d ≤ i ≤ e. Es gibt also t ∈ T mit e e tai i=d tj = 0.

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