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By Tangora M.C. (ed.)

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Nun gilt W (xi ) = X \ ∪j∈I\{i} W (xj ) so dass die Wegkomponente W (xi ) als Komplement offener Mengen auch abgeschlossen ist. 13 X= i∈I W (xi ) . Andererseits ist als topologischer Raum X = i∈I Z(xi ) mit W (xi ) ⊂ Z(xi ). Angenommen, es ˙ (x), im Widerspruch w¨are Z(x) W (x) f¨ ur ein x ∈ X. Dann w¨are Z(x) = (Z(x) \ W (x))∪W dazu, dass Z(x) zusammenh¨angend ist. 1 ¨ Sei X ein topologischer Raum und ∼ eine Aquivalenzrelation auf X. Sei π : X → X/∼ die uglich π heißt Quotiententopologie T∼ kanonische Projektion.

4. Seien K1 , K2 kompakt in X. Dann ist auch K1 ∪ K2 kompakt. ) Daher ist X + \ K1 ∩ X + \ K2 = X + \ (K1 ∪ K2 ) auch offen in X + . Wegen 1. und 2. ist die Vereinigung einer beliebigen Familie offener Mengen offen. Wegen 3. und 4. sind endliche Schnitte offener Mengen offen. Also liegt eine Topologie vor. Die offensichtliche Abbildung X → X + ist eine Einbettung. Wir untersuchen Eigenschaften dieser Topologie: • X + ist Hausdorffsch. Zwei verschiedene Punkte x, y ∈ X k¨onnen durch offene Umgebungen getrennt werden, weil X als Hausdorffsch vorausgesetzt wurde.

Setze N := (0, . . , 0, 1) ∈ Sn , also den Nordpol, und betrachte Sn \ {N } → Rn s: x1 , . . , 1−xxnn+1 1−xn+1 (x1 , . . , xn+1 ) → Dies ist ein Hom¨omorphismus von Sn \ {N } und Rn . Also ist Sn die AlexandroffKompaktifizierung von Rn . 2. Sei X lokal-kompakt und Hausdorffsch. Ist X nicht schon selbst kompakt, so ist X dicht ¨ in X + . ) 3. Ein Problem der Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist es, dass stetige Abbildungen f : X → Y in einen kompakten Raum nicht stetig fortgesetzt werden k¨onnen: X  { f { { GY {a X+ Als Gegenbeispiel betrachte sin(1/x) GY jS j j j jj jj X = (0, 1]  = [−1, 1] X + = [0, 1] Es gibt auch allgemeinere Kompaktifizierungen.

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